假設賭局1:你贏的概率是60%，輸的概率是40%。贏時的凈收益率是100%，輸時的虧損率也是100%。也即，如果贏，那麼你每賭1元可以贏得1元，如果輸，則每賭1元將會輸掉1元。賭局可以進行無限次，每次下的賭註由你自己任意定。問題：假設你的初始資金是100元，那麼怎麼樣下註，即每次下註金額占本金的百分之多少，才能使得長期收益最大。
對於這個賭局，每次下註的期望收益是下註金額的60%*1-40%*1=20%，期望收益為正。也就是說這是一個對賭客占優的賭局，而且占得優勢非常大。
那麼我們應該怎麼樣下註呢？
如果不進行嚴密的思考，粗略的想象一下，我們會覺得既然我每次賭的期望收益是20%，那麼為瞭實現長期的最大收益，我應該在每次賭博中盡量放入更多比例的本金。這個比例的最大值是100%。
但是顯然每一局賭博都放入100%的本金是不合理的，因為一旦哪一次賭博賭輸瞭，那麼所有的本金就會全部輸光，再也不能參加下一局，隻能黯然離場。而從長期來看，賭輸一次這個事件必然發生，所以說長期來看必定破產。
所以說這裡就得出瞭一個結論：隻要一個賭局存在一下子把本金全部輸光的可能，哪怕這個可能非常的小，那麼就永遠不能滿倉。
因為長期來看，小概率事件必然發生，而且在現實生活中，小概率事件發生的實際概率要遠遠的大於它的理論概率。這就是金融學中的肥尾效應。
繼續回到賭局1。
既然每次下註100%是不合理的，那麼99%怎麼樣。如果每次下註99%，不但可以保證永遠不會破產，而且運氣好的話也許能實現很大的收益。
實際情況是不是這個樣子呢？
我們先不從理論上來分析這個問題，我們可以來做個實驗。我們模擬這個賭局，並且每次下註99%，看看結果會怎麼樣。
這個模擬實驗非常的簡單，用excel就能完成。請看下圖：
如上圖，第一列表示局數。第二列為勝負，excel會按照60%的概率產生1，即60%的概率凈收益率為1，40%的概率產生-1，即40%的概率凈收益為-1。第三列為每局結束時賭客所有的資金。這個實驗每次下註倉位是99%，初始本金是100，分別用黃色和綠色標出。
大傢從圖中可以看出，在進行瞭10局之後，10局中贏的局數為8，比60%的概率還要大，僅僅輸瞭兩次。但即使是這樣，最後的資金也隻剩下瞭2.46元，基本上算是輸光瞭。
當我把實驗次數加大，變成1000次、2000次、3000次……的時候，結果可想而知瞭，到最後手中的資金基本上是趨向於0。
既然99%也不行，那麼我們再拿其他幾個比例來試試看，看下圖：
從圖中可以看出，當把倉位逐漸降低，從99%，變成90%，80%，70%，60%的時候，同樣10局的結果就完全不一樣瞭。從圖中似乎可以看出隨著倉位逐漸的變小，在10局之後的資金是逐漸變大的。
大傢看到這裡，就會漸漸的發現這個賭局的問題並不是那麼簡單的。就算是賭客占優如此之大的賭局，也不是隨隨便便都能贏錢的。
那麼到底怎麼下註才能使得長期收益最大呢？
是否就像上圖所顯示的那樣，比例越小越好呢？應該不是，因為當比例變成0的時候顯然也不能賺錢。
那麼這個最優的比例到底是多少呢？
這就是著名的凱利公式所要解決的問題！
凱利公式介紹
其中f為最優的下註比例。p為贏的概率。rw是贏時的凈收益率，例如在賭局1中rw=1。rl是輸時的凈損失率，例如在賭局1中rl=1。註意此處rl>0。
根據凱利公式，可以計算出在賭局1中的最有下註比例是20%。
我們可以進行一下實驗，加深對這個結論的理解。
如圖，我們分別將倉位設定為10%，15%，20%，30%，40%。他們對應的列數分別是D、E、F、G、H。
當我把實驗次數變成3000次的時候，如下圖：
當我把實驗次數變成5000次的時候，如下圖：
大傢從兩幅圖中可以看到F列對應的結果最大，和其它列相比壓根就不是一個數量級的。而F列對應的倉位比例正是20%。
大傢看到凱利公式的威力瞭吧。在上面的實驗中，如果你不幸將比例選擇為40%，也就是對應H列，那麼在5000局賭博之後，你的本金雖然從100變成瞭22799985.75，收益巨大。但是和20%比例的結果相比，那真是相當於沒賺錢。
這就是知識的力量！
凱利公式理解
凱利公式的數學推導及其復雜，需要非常高深的數學知識，所以在這裡討論也沒有什麼意義。哎，說白瞭其實就是我也看不大懂。凱利公式原始的論文pdf鏈接我會附在文章後面，有興趣的可以自己去看。
在這裡我將通過一些實驗，加深大傢對凱利公式主觀上的理解。
我們再來看一個賭局。賭局2：你輸和贏的概率分別是50%，例如拋硬幣。贏的時候凈收益率為1，即rw=1，輸的時候凈損失率為0.5，即rl=0.5。也就是說當你每賭一元錢，贏的時候你能再贏1元，輸的時候你隻要付出去5毛。
容易看出賭局2的期望收益是0.25，又是一個賭客存在極大優勢的賭局。
根據凱利公式，我們可以得到每局最佳的下註比例為：
,也就是說每次把一半的錢拿去下註，長期來看可以得到最大的收益。
下面我要根據實驗得出平均增長率r的概念。
首先來看實驗2.1，如下兩張圖：
這兩張圖都是模擬賭局2做的實驗，在第二列的勝負列中，實驗會50%的概率產生1，表示盈利100%。50%的概率產生-0.5，表示虧損50%。第三第四列分別是在倉位為100%和50%下每次賭局之後所擁有的資金。
仔細對比兩張圖可以發現結論一，亦即在經過相同次的局數之後，最後的結果隻與在這些局數中贏的局數的數量和輸的局數的數量有關，而與在這些局數中贏的局和輸的局的順序無關。例如在上兩幅圖中，同樣進行瞭4局，同樣每幅圖中贏瞭兩局輸瞭兩局，但是第一張圖的輸贏順序是贏輸輸贏，第二張圖的輸贏順序是輸贏贏輸。它們最終的結果都是一樣的。
當然這個結論非常容易證明（乘法交換律，小學生就會），這裡就不證明瞭，上面舉的兩個例子足夠大傢很好的理解。
那麼既然最終的結果和輸贏的順序無關，那麼我們假設賭局2如實驗2.2一樣進行下去，看下圖：
凱利傳奇（本節內容來自互聯網）
凱利公式最初為 AT&T 貝爾實驗室物理學傢約翰·拉裡·凱利根據他的同僚克勞德·艾爾伍德·夏農於長途電話線雜訊上的研究所建立。凱利解決瞭夏農的資訊理論要如何應用於一名擁有內線消息的賭徒在賭馬時的問題。賭徒希望決定最佳的賭註金額，而他的內線消息不需完美（無雜訊），即可讓他擁有有用的優勢。凱利的公式隨後被夏農的另一名同僚愛德華·索普應用於二十一點和股票市場中。
索普利用工作之餘，通過數個月的艱苦演算，寫瞭一篇題為《“二十一點”優選策略》的數學論文。他利用自己的知識，一夜之間“奇襲”瞭內華達雷諾市所有的賭場，並成功的從二十一點賭桌上贏得瞭上萬美元。他還是美國華爾街量化交易對沖基金的鼻祖，70年代首創第一個量化交易對沖基金。1962年出版瞭他的專著《打敗莊傢》，成為金融學的經典著作之一。
運用展望
如何利用凱利公式在現實生活中賺錢？
那就是要去創造滿足凱利公式運用條件的“賭局”。在我看來，這個“賭局”一定是來自金融市場。
近期我一直在做交易系統的研究，對於一個優秀的交易系統來說什麼是最重要的？一個期望收益為正的買賣規則占到重要性的10%，而一個好的資金控制方法占到瞭重要性的40%，剩下的50%是操控人的心理控制力。
而凱利公式正是幫助我進行資金倉位控制的利器。
比如說之前我研究出的一個股票交易系統，該系統每周進行一次交易，每周交易成功的概率是0.8，失敗的概率是0.2。當成功的時候可以賺取3%（扣掉傭金，印花稅），每次失敗時虧損5%。在不知道凱利公式之前，我都是盲目的滿倉交易，也不知道我這個倉位設定的對不對，心理很虛。在運用凱利公式之後，計算的最佳的倉位應該是9.33，就是說如果借款利率是0的話想要得到最快的資金增長速度就要使用杠桿交易，通過公式計算得到每次交易的平均增長率r約等於7.44%，而滿倉交易的平均資金增長率為r約等於1.35（其實也就是期望收益）。通過實驗模擬之後也發現確實杠桿交易比滿倉交易資金增長的速度要快的多。這也讓我更好的理解瞭為什麼很多量化投資基金公司需要使用杠桿交易。
當然凱利公式在實際的運用中不可能這麼的簡單，還有很多的困難需要克服。比如說杠桿交易所需要的資金成本，比如說現實中資金並不是無限可分的，比如說在金融市場並不像上文提到的簡單的賭局那麼簡單。轉載瞭獵豹出擊的博文
但是不管怎麼樣，凱利公式為我們指明瞭前進的道路。